题目内容

(本题满分12分)

椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、AB在椭圆E上,且+=m(mR).

    (1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;

    (2)当m=-3时,证明原点O是△PAB的重心,并求直线AB的方程.

 

【答案】

(1);

(2)x+2y+2=0.

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。

(1)由=解得a2=4,b2=3,

椭圆方程为;再设出点A,B,利用点差法得到斜率。

(2)由(1)知,点Ax1,y1)、Bx2,y2)的坐标满足

P的坐标为(1,), m=-3,    于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,

因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.

,进而得到直线的方程。

解:(1)由=解得a2=4,b2=3,

椭圆方程为

Ax1,y1)、Bx2,y2),

x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即

,两式相减得

;

(2)由(1)知,点Ax1,y1)、Bx2,y2)的坐标满足

P的坐标为(1,), m=-3,    于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,

因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.

x1+x2=-1,y1+y2=-,∴AB中点坐标为(),

,两式相减得

;

∴直线AB的方程为y+=x+),即x+2y+2=0.

 

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