题目内容
(本题满分12分)
椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(2)当m=-3时,证明原点O是△PAB的重心,并求直线AB的方程.
【答案】
(1);
(2)x+2y+2=0.
【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。
(1)由=
及
解得a2=4,b2=3,
椭圆方程为;再设出点A,B,利用点差法得到斜率。
(2)由(1)知,点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足
点P的坐标为(1,), m=-3, 于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+
=3+
+
=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.
,进而得到直线的方程。
解:(1)由=
及
解得a2=4,b2=3,
椭圆方程为;
设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由得
(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即
又,
,两式相减得
;
(2)由(1)知,点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足,
点P的坐标为(1,), m=-3, 于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+
=3+
+
=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.
∵x1+x2=-1,y1+y2=-,∴AB中点坐标为(
,
),
又,
,两式相减得
;
∴直线AB的方程为y+=
(x+
),即x+2y+2=0.
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