题目内容
（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
分析：利用已知可得
=（a，a3-b），
=(0，b)，
=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①
⊥
，②
⊥
，③
⊥
，利用垂直与数量积的关系即可得出．
| AB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| AB |
| OB |
| AB |
解答：解：∵
=（a，a3-b），
=(0，b)，
=（a，a3），且ab≠0．
①若
⊥
，则
•
=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若
⊥
，则
•
=b（a3-b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；
③若
⊥
，则
•
=a2+a3（a3-b）=0，得1+a4-ab=0，即b-a3-
=0．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有(b-a3)(b-a3-
)=0．
故选C．
| AB |
| OA |
| OB |
①若
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
②若
| OA |
| AB |
| OA |
| AB |
③若
| OB |
| AB |
| OB |
| AB |
| 1 |
| a |
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有(b-a3)(b-a3-
| 1 |
| a |
故选C．
点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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