题目内容

已知函数f(x)=
x
,g(x)=alnx,a∈R

(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,证明:φ′(
a+b
2
)≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′(
2ab
a+b
)
分析:(I)根据y=f(x)与y=g(x)交点处有共同的切线,建立方程组,解之可求出切点坐标,以及切线的斜率,从而求出切线方程;
(Ⅱ)由条件知h(x)=
x
-alnx(x>0)
,然后讨论a的正负,利用导数研究函数的单调性,从而求出求出h(x)的最小值;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知φ'(a)=-2ln2a,从而分别求出φ′(
a+b
2
)
φ′(a)+φ′(b)
2
φ′(
2ab
a+b
)
的值,然后利用基本不等式可得结论.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=
1
2
x
,g′(x)=
a
x
(x>0)

由已知得
x
=alnx
1
2
x
=
a
x
解得a=
e
2
,x=e2

∴两条直线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f′(e2)=
1
2e

∴切线的方程为y-e=
1
2e
(x-e2)

(Ⅱ)由条件知h(x)=
x
-alnx(x>0)

h′(x)=
1
2
x
-
a
x
=
x
-2a
2x

(ⅰ)当a>0时,令h'(x)=0,解得x=4a2
∴当0<x<4a2时,h'(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减;
当x>4a2时,h'(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增
∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,从而也是h(x)的最小值点
∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a)
(ⅱ)当a≤0时,h′(x)=
a
-2a
2x
>0,h(x)
在(0,+∞)上递增,无最小值,
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1-ln2a)(a>0)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知φ'(a)=-2ln2a
对任意的a>0,b>0
φ′(a)+φ′(b)
2
=-
2ln2a+2ln2b
2
=-ln4ab
φ′(
a+b
2
)=-2ln(2•
a+b
2
)=-ln(a+b)2≤-ln4ab

φ′(
2ab
a+b
)=-2ln(2•
2ab
a+b
)≥=-2ln
4ab
2
ab
=-ln4ab

故由①②③得φ′(
a+b
2
)≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′(
2ab
a+b
)
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性和最值,同时考查了基本不等式的应用,以及计算能力,属于中档题.
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