Question

已知函数f(x)=

x

，g(x)=alnx，a∈R
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：φ′(

a+b

2

)≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′(

2ab

a+b

)．

Answer 1

分析：（I）根据y=f（x）与y=g（x）交点处有共同的切线，建立方程组，解之可求出切点坐标，以及切线的斜率，从而求出切线方程；
（Ⅱ）由条件知h(x)=

x

-alnx(x＞0)，然后讨论a的正负，利用导数研究函数的单调性，从而求出求出h（x）的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a，从而分别求出φ′(

a+b

2

)、

φ′(a)+φ′(b)

2

、φ′(

2ab

a+b

)的值，然后利用基本不等式可得结论．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

2 x

，g′(x)=

a

x

(x＞0)，
由已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得a=

e

2

，x=e2，
∴两条直线交点的坐标为（e²，e），切线的斜率为k=f′(e2)=

1

2e

，
∴切线的方程为y-e=

1

2e

(x-e2)
（Ⅱ）由条件知h(x)=

x

-alnx(x＞0)，
∴h′(x)=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

（ⅰ）当a＞0时，令h'（x）=0，解得x=4a²，
∴当0＜x＜4a²时，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h'（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上递增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，从而也是h（x）的最小值点
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）
（ⅱ）当a≤0时，h′(x)=

a -2a

2x

＞0，h(x)在（0，+∞）上递增，无最小值，
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a（1-ln2a）（a＞0）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a
对任意的a＞0，b＞0

φ′(a)+φ′(b)

2

=-

2ln2a+2ln2b

2

=-ln4ab①φ′(

a+b

2

)=-2ln(2•

a+b

2

)=-ln(a+b)2≤-ln4ab②
φ′(

2ab

a+b

)=-2ln(2•

2ab

a+b

)≥=-2ln

4ab

2 ab

=-ln4ab③
故由①②③得φ′(

a+b

2

)≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′(

2ab

a+b

)．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了基本不等式的应用，以及计算能力，属于中档题．