Question

甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a₁，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a₁乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a₁除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a₂．对a₂仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a₃．当a₃＞a₁时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为

3

4

，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为

3

4

，可求a₁的取值范围．

解答：解：a₃的结果有四种，每一个结果出现的概率都是

1

4

1．a₁→2a₁-12→2（2a₁-12）-12=4a₁-36=a₃，
2．a₁→2a₁-12→

2a1-12

2

+12=a₁+6=a₃，
3．a₁→

a1

2

+12→

a1 2 +12

2

+12=

a1

4

+18=a₃，
4．a₁→

a1

2

+12→2（

a1

2

+12）-12=a₁+12=a₃，
∵a₁+18＞a₁，a₁+36＞a₁，
∴要使甲获胜的概率为

3

4

，即a₃＞a₁的概率为

3

4

，
∴4a₁+36＞a₁，

a1

4

+18≤a₁，
或4a₁+36≤a₁，

a1

4

+18＞a₁，
解得a₁≥24或a₁≤-12．

点评：本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．