Question

20．如图，已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°．将菱形ABCD沿对角线PA折起得到三棱锥D-ABC，设二面角D-AC-B的大小为θ．
（1）当θ=90°时，求异面直线AD与BC所成角的余弦值；
（2）当θ=60°时，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由折叠后的不变量可知，∠DOB为二面角的平面角，然后通过取中点的办法，得到异面直线所成的角，再通过解三角形得答案．
（2）在折叠后的图形中，作出线面角，然后通过解直角三角形得答案．

解答 解：由题意可知二面角D-AC-B的平面角为∠DOB，即∠DOB=θ．
（1）当θ=90°时，即∠DOB=90°，分别取DC，BD的中点M，N，连结OM，MN，ON，
∵OM∥AD，MN∥BC，
∴∠OMN为异面直线AD与BC所成的角或其补角，
在△OMN中，OM=2，MN=2，$ON=\sqrt{6}$，
∴$cos∠OMN=\frac{1}{4}$，
即异面直线AD与BC所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
（2）当θ=60°时，即∠DOB=60°，
由题意可知AC⊥平面DOB，△DOB为等边三角形，
取OB的中点H，则有DH⊥平面ABC，且DH=3，即直线AD与平面ABC所成的角为∠DAH，
∴$sin∠DAH=\frac{DH}{DA}=\frac{3}{4}$，
即直线AD与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了异面直线所成角、线面角及二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．