题目内容
已知函数f(x)=
,函数g(x)=asin
x-a+1(a>0),若存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是
|
π |
6 |
[
,2]
1 |
2 |
[
,2]
.1 |
2 |
分析:根据给出的函数f(x)的解析式求出其值域为[0,
],然后求出函数g(x)在x∈[0,1]上的值域,由存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,说明函数g(x)的最值中至少一个在[0,
]范围内,最后列式求解a的范围.
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:由f(x)=
,得:f′(x)=
=
,
当x∈(
,1]时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(
,1]上为增函数,所以f(x)∈(
,
],
当x∈[0,
]时,函数f(x)为减函数,f(x)∈[0,
],所以在[0,1]上f(x)∈[0,
],
函数g(x)=asin
x-a+1,当x∈[0,1]时,sin
x∈[0,
],
所以g(x)∈[1-a,1-
]
若存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,说明函数函数g(x)的最大值与最小值中至少一个在[0,
]中,
所以0≤1-a≤
或0≤1-
≤
,解得:
≤a≤2,
所以实数a的取值范围是[
,2].
故答案为[
,2].
x3 |
x+1 |
3x2(x+1)-x3 |
(x+1)2 |
2x3+3x2 |
(x+1)2 |
当x∈(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
12 |
1 |
2 |
当x∈[0,
1 |
2 |
1 |
12 |
1 |
2 |
函数g(x)=asin
π |
6 |
π |
6 |
1 |
2 |
所以g(x)∈[1-a,1-
a |
2 |
若存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,说明函数函数g(x)的最大值与最小值中至少一个在[0,
1 |
2 |
所以0≤1-a≤
1 |
2 |
a |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
所以实数a的取值范围是[
1 |
2 |
故答案为[
1 |
2 |
点评:本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理,考查了数学转化思想,本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题.

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