Question

已知函数f(x)=

x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 6 x+ 1 12 ，x∈[0， 1 2 ]

，函数g(x)=asin

π

6

x-a+1（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

[

1

2

，2]

．

Answer 1

分析：根据给出的函数f（x）的解析式求出其值域为[0，

1

2

]，然后求出函数g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数g（x）的最值中至少一个在[0，

1

2

]范围内，最后列式求解a的范围．

解答：解：由f(x)=

x3

x+1

，得：f′(x)=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

，
当x∈(

1

2

，1]时，f^′（x）＞0，所以函数f（x）在(

1

2

，1]上为增函数，所以f（x）∈(

1

12

，

1

2

]，
当x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）为减函数，f（x）∈[0，

1

12

]，所以在[0，1]上f（x）∈[0，

1

2

]，
函数g(x)=asin

π

6

x-a+1，当x∈[0，1]时，sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
所以g(x)∈[1-a，1-

a

2

]
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数函数g（x）的最大值与最小值中至少一个在[0，

1

2

]中，
所以0≤1-a≤

1

2

或0≤1-

a

2

≤

1

2

，解得：

1

2

≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[

1

2

，2]．
故答案为[

1

2

，2]．

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，考查了数学转化思想，本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题．