题目内容

已知函数f(x)=
x3
x+1
,x∈(
1
2
,1]
-
1
6
x+
1
12
,x∈[0,
1
2
]
,函数g(x)=asin
π
6
x
-a+1(a>0),若存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是
[
1
2
,2]
[
1
2
,2]
分析:根据给出的函数f(x)的解析式求出其值域为[0,
1
2
]
,然后求出函数g(x)在x∈[0,1]上的值域,由存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,说明函数g(x)的最值中至少一个在[0,
1
2
]
范围内,最后列式求解a的范围.
解答:解:由f(x)=
x3
x+1
,得:f(x)=
3x2(x+1)-x3
(x+1)2
=
2x3+3x2
(x+1)2

当x∈(
1
2
,1]
时,f(x)>0,所以函数f(x)在(
1
2
,1]
上为增函数,所以f(x)∈(
1
12
1
2
]

当x∈[0,
1
2
]
时,函数f(x)为减函数,f(x)∈[0,
1
12
]
,所以在[0,1]上f(x)∈[0,
1
2
]

函数g(x)=asin
π
6
x
-a+1,当x∈[0,1]时,sin
π
6
x∈[0,
1
2
]

所以g(x)∈[1-a,1-
a
2
]

若存在x1、x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,说明函数函数g(x)的最大值与最小值中至少一个在[0,
1
2
]
中,
所以0≤1-a≤
1
2
0≤1-
a
2
1
2
,解得:
1
2
≤a≤2

所以实数a的取值范围是[
1
2
,2]

故答案为[
1
2
,2]
点评:本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理,考查了数学转化思想,本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题.
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