Question

如图2-5-17，PA切⊙O于A，PCB、PDE为⊙O的割线，并且PDE过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=23，PC=1，求PD的长.

图2-5-17

Answer 1

思路分析:求PD，可使用割线定理PC·PB=PD·PE，显然PA切⊙O，

∴PA²=PC·PB.

可求得PB，但PE=PD＋DE，DE为⊙O直径，所以求⊙O的直径成为解题的关键.

解:∵PA切⊙O，∴PA²=PC·PB.

又PB=PC＋BC，∴BC=11.

连结AO，并延长与⊙O交于K，与CB交于G，则GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2.

又Rt△GPA中，∠GPA=30°，

∴PG=2GA=4.∴CG=3，GB=8.

由相交弦定理GC·GB=AG·GK，可得GK=12，∴直径为14.

∴由割线定理有PC·PB=PD·PE，得PD=-7.