Question

4．若x＞0，y＞0且2x+y=1．求使m≤$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$恒成立的m的取值范围．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（2x+y）=$\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4$，由此利用均值不等式能求出$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值，从而能求出m的取值范围．

解答 解：∵x＞0，y＞0且2x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（2x+y）=$\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4$≥2$\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{x}}$+4=8，
当且仅当$\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$时，取等号，
∵m≤$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$恒成立，
∴m的取值范围是（-∞，8]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．