Question

已知下表中的对数值有且只有两个是错误的．

x	1.5	3	5	6	7	8	9	14	27
lgx	3a-b+c	2a-b	a+c	1+a-b-c	2（a+c）	3（1-a-c）	2（2a-b）	1-a+2b	3（2a-b）

（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确，给出判断过程；
（2）求证lg3的对数值是正确的；
（3）试将两个错误的对数值均指出来，并加以改正（不要求证明）

Answer 1

解：（1）由lg5=a+c，得lg2=1-a-c∴lg6=lg2+lg3=1+a-b-c满足表中数值，也就是lg6在假设下是正确的．（4分）
（2）假设lg3=2a-b是错误的，即lg3≠2a-b，∴lg9=2lg3≠2（2a-b），lg27=3lg3≠3（2a-b）
于是lg9，lg27也均是错误的，
这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立，
∴lg3的对数值是正确的．（8分）
（3）lg1.5是错误的，正确值应为3a-b+c-1（12分）lg7是错误的，正确值应为2b+c（16分）
理由：由（2）知lg3一定对，则lg9，lg27都对．若lg5错，则lg6，lg8均错（不符），
所以lg5对的，可得lg2=1-a-c，即有lg6，lg8均对的．
∴lg1.5=lg3-lg2=3a-b+c-1，
∴表中lg1.5是错的．又易知lg7是错的，
∵2（a+c）=2lg5=lg25≠lg7，事实上lg7=lg14-lg2=2b+c
分析：（1）由lg5=a+c，可推知lg2=1-a-c，lg6=lg2+lg3=1+a-b-c再判断．
（2）用反证法，先假设lg3=2a-b是错误的，根据题意转化为lg3≠2a-b，lg9=2lg3≠2（2a-b），lg27=3lg3≠3（2a-b），进而得知lg9，lg27也均是错误的得证．
（3）由（2）知lg3一定对，可知lg9，lg27都对．若lg5错，则lg6，lg8均错，得知lg5对，转化为lg2=1-a-c，推知lg6，lg8均对的．
点评：本题主要考查数的关系和反证法的应用，要注意基本步骤，先否定结论，肯定假设，推出矛盾，肯定结论，否定假设．