题目内容
已知正四棱柱中,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得平面
平面
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(1)详见解析;(2)(3)存在,
解析试题分析:(1)可证平面
,从而可得
。(2)(空间向量法)以
为原点建立空间直角坐标系
,如图。根据边长可得各点的坐标,从而可得各向量的坐标,根据向量垂直数量积为0可求平面
的法向量,由(1)知
平面
,所以
即为平面
的法向量,先求两法向量所成角的余弦值,但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补,观察可知此二面角为钝角,所以此二面角的余弦值应为负数。(3)设
为线段
上一点,且
,根据向量共线,可用
表示出点
坐标。分别求两个面的法向量,两面垂直,则两法向量也垂直,即数量积为0,从而可得
的值,若所得
在
内说明存在点
满足条件,否则说明不存在。
证明:(1)因为为正四棱柱,
所以平面
,且
为正方形. 1分
因为平面
,
所以. 2分
因为,
所以平面
. 3分
因为平面
,
所以. 4分
(2)如图,以为原点建立空间直角坐标系
.则
5分
所以.
设平面的法向量
.
所以 .即
6分
令,则
.
所以.
由(1)可知平面的法向量为
. 7分
所以. 8分
因为二面角为钝二面角,
所以二面角的余弦值为
. 9分
(3)设为线段