Question

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：

2m+3≥3m m-2≥1

，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．
（2）在（1）中求得前n项和S_n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，联想组合数的性质C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易构造出解答A_n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到A_n的值．

解答：解：（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴

2m+3≥3m m-2≥1

∴m=3，…（2分）
由(x+

1

4x2

)4的展开式中的同项公式知T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，

∴a_n=x^n-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

…（4分）
（2）当x=1时，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上两式相加得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
当x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，
所以有：

An= 1-x 1-x C 1 n + 1-x2 1-x C 2 n +…+ 1-xn 1-x C n n

= 1 1-x [( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-(x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )]

=

1

1-x

[2ⁿ-1-（1+x）ⁿ+1]

= 1 1-x [2n-(1+x)n]，

∴An=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

…（10分）

点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．