题目内容
从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{an}的一个子数列，设数列{an}是一个首项为a1，公差为d（d≠0）的无穷等差数列．
（1）若a1，a2，a5为公比为q的等比数列，求公比q的值；
（2）若a1=1，d=2，请写出一个数列{an}的无穷等比子数列{bn}；
（3）若a1=7d，{cn}是数列{an}的一个无穷子数列，当c1=a2，c2=a6时，试判断{cn}能否是{an}的无穷等比子数列，并说明理由．
（1）若a1，a2，a5为公比为q的等比数列，求公比q的值；
（2）若a1=1，d=2，请写出一个数列{an}的无穷等比子数列{bn}；
（3）若a1=7d，{cn}是数列{an}的一个无穷子数列，当c1=a2，c2=a6时，试判断{cn}能否是{an}的无穷等比子数列，并说明理由．
分析：（1）由题设知（a1+d）2=a1（a1+4d），由此可求出其公比q=
=3；
（2）取b1=3，b2=9，则数列{an}的无穷等比子数列{bn}可以为bn=3n
（3）设等比数列的公比q=
=
，bm=a2qm-1=8d•(
)m-1，由题设an=a1+（n-1）d=（n+6）d．再由反证法能够推出该数列不为{an}的无穷等比子数列．
| a2 |
| a1 |
（2）取b1=3，b2=9，则数列{an}的无穷等比子数列{bn}可以为bn=3n
（3）设等比数列的公比q=
| a6 |
| a2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，
于是d=2a1，故其公比 q=
=3；
（2）取b1=3，b2=9，则数列{an}的无穷等比子数列{bn}可以为bn=3n满足题意；
（3）设等比数列的公比q=
=
，bm=a2qm-1=8d•(
)m-1，由题设an=a1+（n-1）d=（n+6）d
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，
即 (n+6)d=8d•(
)m-1，
得n=8(
)m-1-6，
当m=5时，n=8(
)5-1-6=
∉N*与假设矛盾，
故该数列不为{an}的无穷等比子数列．
于是d=2a1，故其公比 q=
| a2 |
| a1 |
（2）取b1=3，b2=9，则数列{an}的无穷等比子数列{bn}可以为bn=3n满足题意；
（3）设等比数列的公比q=
| a6 |
| a2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，
即 (n+6)d=8d•(
| 3 |
| 2 |
得n=8(
| 3 |
| 2 |
当m=5时，n=8(
| 3 |
| 2 |
| 69 |
| 2 |
故该数列不为{an}的无穷等比子数列．
点评：本题的考点是等比数列，主要考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．
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