Question

5．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，已知△F₁PF₂为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率e．
（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，且|AB|=$\frac{16}{5}$，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用△F₁PF₂为等腰三角形得|PF₂|=|F₁F₂|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；
（2）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入两点的距离公式，解方程可得椭圆方程．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，
即2a²-2ac=4c²，
整理得2（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1=0，得$\frac{c}{a}$=-1（舍），或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
所以e=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{b}{a-c}$=$\sqrt{3}$，
可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-c）．
A，B的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，
消y并整理得5x²-8xc=0，解得x=0，x=$\frac{8}{5}$c，
得方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}c}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}c}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{5}c}\end{array}\right.$，
不妨设A（$\frac{8}{5}$c，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$c），B（0，-$\sqrt{3}$c）．
由|AB|=$\frac{16}{5}$，可得$\sqrt{\frac{64}{25}{c}^{2}+\frac{192}{25}{c}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
解得c=1，即有a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．