Question

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点,

记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为………1分

则 ．                                       …………2分

将  代入 ，

解得 ．                                                 ………3分

所以椭圆的离心率为 ．                                 …………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为．              …………5分

设，．

依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入

得 ．        …………7分

则 ，，

．                                   ………………8分

因为 ，

所以 ，．                   ………………9分

因为 △∽△，

所以                ………11分

．          ………………13分

所以的取值范围是．