Question

经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：
f（x）=
（1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？
（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？
（3）若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？

Answer 1

【答案】分析：（1）分别计算出f（5），f（20）再比较它们的大小f（5）、f（20）即可得出开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．
（2）分两类讨论函数的最大值：①当0＜x≤10时，②当16＜x＜30时，从而得出开讲后10钟学生达到最强的接受能力，并维持6分钟．
（3）分两种情形讨论：①当0＜x＜10时，②当16＜x＜30时，分别令f（x）＞55，求得相应x的取值范围，得出结论：学生达到或超过55的接受能力的时间11.3分钟，小于13分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．
解答：解：（1）f（5）=53.5，f（20）=47⇒f（5）＞f（20）⇒．
开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．
（2）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9⇒f（x）是增函数⇒最大值是
f（10）=59；当16＜x＜30时，f（x）是递减的函数，
⇒f（x）＜f（16）=59，故开讲后10钟学生达到最强的接受能力，并维持6分钟．
（3）当0＜x＜10时，令f（x）＞55，则6＜x＜10；
当16＜x＜30时，令f（x）＞55，则16＜x＜17.3
因此，学生达到或超过55的接受能力的时间11.3分钟，
小于13分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．
点评：本题函数模型为分段函数，分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题．但分类时要做到不重不漏．正确求出函数解析式后，利用函数的常规方法求解相关问题．求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．