题目内容

给出以下命题:
①存在实数x使sinx+cosx=
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②若α、β是第一象限角,且α>β,则  cosα<cosβ;
③函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是T=π;
④若cosαcosβ=1,则sin(α+β)=0;
其中正确命题的序号是
③④
③④
分析:通过化简求最值可判断①是否正确;
通过举例,判断②是否正确;
通过化简函数及余弦函数的最小正周期来判断③是否正确;
先求出α、β的值再判断α+β的值,从而判断④是否正确.
解答:解:∵sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
2
3
2
,∴①错误;
6
π
3
是第一象限角,而cos
6
=
3
2
>cos
π
3
=
1
2
,∴②错误;
∵函数y=cos4x-sin4x=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos2x,∴函数的最小正周期是T=π,∴③正确;
∵cosαcosβ=1⇒cosα=cosβ=1 或cosα=cosβ=-1⇒α,β=2kπ或α、β=2kπ+π,∴α+β=kπ,∴④正确.
故答案是③④.
点评:本题借助考查命题的真假判断,考查三角函数的性质.
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