Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）证明函数h（x）=x²+a²x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

Answer 1

分析：（1）利用“弱增函数”的定义逐个判断即可；
（2）按“若增函数”的定义需证明两条：①证明h（x）在（0，1]上是增函数；②证明

h(x)

x

在（0，1]上是减函数．

解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=

f(x)

x

=1+

4

x

在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x²+4x在（1，2）上是增函数，但

g(x)

x

=x+4在（1，2）上不是减函数，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x²+a²•x+4的对称轴为x=-

a2

2

≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．
下面证明函数F（x）=

h(x)

x

=x+

4

x

+a2在（0，1]上是减函数．
设0＜x₁＜x₂≤1，
则F(x1)-F(x2)=(x1+

4

x1

+a2)-(x2+

4

x2

+a2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴F(x1)-F(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；

点评：本题主要考查函数单调性的判断及证明，考查对新问题的理解分析及解决能力．