Question

函数y=2x-1-

13-4x

的值域为

(-∞，

11

2

]

．

Answer 1

分析：换元法：令

13-4x

=t，将函数转化成关于t的二次函数问题，注意新元t在区间[0，+∞）上求值域，再利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．

解答：解：令

13-4x

=t，t≥0，则 x=

13-t2

4

，
∴y=

13-t2

2

-1-t=-

1

2

t²-t+

11

2

，
二次函数图象关于直线t=-1对称
故函数在t∈（-1，+∞）时为减函数
∴当t=0时，函数的最大值为

11

2

故所求函数的值域为(-∞，

11

2

]，
故答案为(-∞，

11

2

]．

点评：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式，换元时要注意新变量的取值范围问题．