Question

曲线C：x²-y²=1的左支与直线y=kx+1只有一个公共点，则k的取值范围是 ________．

Answer 1

-1＜k≤1，或k=
分析：先把直线与双曲线的方程联立消去y，可得方程，此方程有一个负根，先看k=1和-1时，k=-1符合题意，然后看-1＜k＜1时利用韦达定理求得x₁x₂的表达式，判断出结果消去0，可知-1＜k＜1符合，再看k＜-1或k＞1时利用△=0求得k的值，代入方程可知k=时符合题意，之后综合答案可得．
解答：把直线与双曲线方程联立整理得
（1-k²）x²-2kx-2=0，③
③恰有一负根，
1）k=1时③变为-2x-2=0，x=-1；
2）k=-1时③变为2x-2=0，x=1（舍）；
3）-1＜k＜1时x₁x₂=-＜0，③恰有一负根；
4）k＜-1或k＞1时
△=4k²+8（1-k²）=0，求得k=±
k=时，x=-；
k=-时x=（舍）．
综上，-1＜k≤1，或k=，
故答案为：-1＜k≤1，或k=，
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分类讨论的思想的运用和分析问题，基本的运算能力．