题目内容

若a＞b＞c，则使不等式
1
a-b
+
1
b-c
+
k
c-a
＞0恒成立的实数k的取值范围是（　　）
A、（-∞，1]
B、（-∞，1）
C、（-∞，4]
D、（-∞，4）
分析：欲求不等式
1
a-b
+
1
b-c
+
k
c-a
＞0恒成立的实数k的取值范围，只需将k分离，然后利用基本不等式求出另一侧的最值，从而可求出所求．
解答：解：∵a＞b＞c，则使不等式
1
a-b
+
1
b-c
+
k
c-a
＞0恒成立，
∴
k
a-c
＜
1
a-b
+
1
b-c
即k＜(a-c)(
1
a-b
+
1
b-c
)=[(a-b)+(b-c)]×(
1
a-b
+
1
b-c
)，
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，b-c＞0，
∴[(a-b)+(b-c)]×(
1
a-b
+
1
b-c
)=2+
b-c
a-b
+
a-b
b-c
≥2+2
b-c
a-b
×
a-b
b-c
=4，
当且仅当
b-c
a-b
=
a-b
b-c
，即a+c=2b时取等号，
∴k＜4，即实数k的取值范围是（-∞，4）．
故选：D．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，运用基本不等式求最值值，要注意等号成立的条件是“一正，二定，三相等”，以及恒成立求出参数问题，常常利用参变量分离法进行求解，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0），p为椭圆E上任意一点．
（1）试证：若a、b、c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）若E为黄金椭圆；问：是否存在过点F，P的直线l；使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
；若存在，求直线l的斜率K；若不存在，说明理由．
下列命题：
①若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线；
②向量
a
、
b
、
c
共面，则它们所在直线也共面；
③若
a
与
b
共线，则存在唯一的实数λ，使
b
=λ
a
；
④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，
上述命题中的真命题是
 
．
设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
①②③
①②③
．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
定义：离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．
（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为
{x|0＜x≤1}
{x|0＜x≤1}
．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
①②③
①②③
．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

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