题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2 |
c |
(1)求椭圆的C的标准方程;
(2)若过点P且斜率为
1 |
4 |
(3)若过点P的直线AB与椭圆交于A、B 两点,求△ABF的面积的最大值.
分析:(1)由|MN|=8求出a,再由|PM|=2|MF|得到关于c的方程,求出c的值,由b2=a2-c2求出b2,则椭圆方程可求;
(2)求出直线AB的方程,联立直线和椭圆方程,由弦长公式求解|AB|;
(3)设出过P的直线AB的方程,联立直线方程和椭圆方程,化为关于y的方程,由根与系数的关系求出A,B两点纵坐标差的绝对值,把△ABF的面积转化为S△ABF=S△PBF-S△PAF,代入纵坐标的差的绝对值后利用基本不等式求最值.
(2)求出直线AB的方程,联立直线和椭圆方程,由弦长公式求解|AB|;
(3)设出过P的直线AB的方程,联立直线方程和椭圆方程,化为关于y的方程,由根与系数的关系求出A,B两点纵坐标差的绝对值,把△ABF的面积转化为S△ABF=S△PBF-S△PAF,代入纵坐标的差的绝对值后利用基本不等式求最值.
解答:解:(1)由|MN|=8⇒a=4,
|PM|=2|MF|⇒
-a=2(a-c)⇒
-4=2(4-c),
∴c2-6c+8=0⇒c=2或4(舍),
∴b2=a2-c2=16-4=12,
∴椭圆方程为
+
=1;
(2)由(1)知,点P坐标为(-8,0),得直线AB方程为y=
(x+8)=
x+2,
联立
,得13x2+16x-128=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
,x1x2=-
,
∴|AB|=
•
=
•
=
;
(3)由已知图形得:S△ABF=S△PBF-S△PAF=
×|PF|×|y2-y1|=3|y2-y1|,
设过点P的直线方程为x+8=my,
联立
,得(3m2+4)y2-48my+144=0.
得△=(48m)2-4×144×(3m2+4)=4×144×(m2-4),
∴m2-4>0.
y1+y2=
,y1y2=
,
∴|y1-y2|=
=
=
.
因此S△ABF=
,
变形得:S△ABF=
≤3
,
当且仅当
=
,即m=±
时等号成立.
|PM|=2|MF|⇒
a2 |
c |
16 |
c |
∴c2-6c+8=0⇒c=2或4(舍),
∴b2=a2-c2=16-4=12,
∴椭圆方程为
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(2)由(1)知,点P坐标为(-8,0),得直线AB方程为y=
1 |
4 |
1 |
4 |
联立
|
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
16 |
13 |
128 |
13 |
∴|AB|=
1+
|
(x1+x2)2-4x1x2 |
=
|
(-
|
12 |
13 |
51 |
(3)由已知图形得:S△ABF=S△PBF-S△PAF=
1 |
2 |
设过点P的直线方程为x+8=my,
联立
|
得△=(48m)2-4×144×(3m2+4)=4×144×(m2-4),
∴m2-4>0.
y1+y2=
48m |
3m2+4 |
144 |
3m2+4 |
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2 |
=
(
|
24
| ||
3m2+4 |
因此S△ABF=
24
| ||
m2+
|
变形得:S△ABF=
24 | ||||||||
|
3 |
当且仅当
m2-4 |
| ||
|
2
| ||
3 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了弦长公式的应用,体现了数学转化思想方法,考查了利用基本不等式求最值,是一道综合性较强的题目.

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