Question

如图，四面体A-BCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD⊥CD，且AD=BD=CD=2，点E是线段AB的中点．
（1）求证：DE是异面直线AB与CD的公垂线；
（2）求异面直线AB与CD间的距离；
（3）求异面直线DE与BC所成的角．

Answer 1

分析：以BD所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，以AD所在直线为z轴建系；并求出各点对应坐标；
（1）求出

DE

，

AB

，

CD

的坐标，推出

AB

•

DE

=0以及

DE

•

DC

=0即可．
（2）根据

DE

的坐标结合第一问的结论，直接代入两点间的距离公式即可求出结论；
（3）直接代入利用向量求两直线间的夹角公式即可．

解答：解：（1）以BD所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，以AD所在直线为z轴建系如图
由题意知D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，1）
∴

AB

=（2，0，-2），

DE

=（1，0，1），

DC

=（0，2，0）
∴

AB

•

DE

=0，

DE

•

DC

=0．
∴AB⊥DE，DE⊥DC．
即DE是异面直线AB与CD的公垂线．
（2）|

DE

|=

2

∴异面直线AB与CD间的距离是

2

．
（3）∵

BC

=（-2，2，0）
∴

BC

•

DE

=-2，|

BC

|=2

2

；
∴cosθ=

BC • DE

| BC |•| DE |

=

-2

2 2 • 2

=-

1

2

．
∴θ=120°．
∴异面直线DE与BC所成的角为60°．

点评：本题主要考查空间向量在求夹角以及距离的应用问题．解决第三问时，一定要注意两异面直线所成角的范围是（0°，90°】，避免出错．