Question

（2013•山东）定义“正数对”：ln⁺x=

0，  0＜x＜1 lnx，    x≥1

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+2．
其中的真命题有

①③④

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假

解答：解：对于①，由定义，当a≥1时，a^b≥1，故ln⁺（a^b）=ln（a^b）=blna，又bln⁺a=blna，故有ln⁺（a^b）=bln⁺a；
当a＜1时，a^b＜1，故ln⁺（a^b）=0，又a＜1时bln⁺a=0，所以此时亦有ln⁺（a^b）=bln⁺a．由上判断知①正确；
对于②，此命题不成立，可令a=2，b=

1

3

，则ab=

2

3

，由定义ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=ln2，所以ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b；由此知②错误；
对于③，当a≥b＞0时，

a

b

≥1，此时ln+(

a

b

)=ln (

a

b

)≥0，当a≥b≥1时，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln(

a

b

)，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln⁺a-ln⁺b=lna，此时

a

b

＞a，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b成立；当

a

b

＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的
故答案为①③④

点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错