Question

11．如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°
（1）求直线AD与平面BCD所成角的大小．
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面角的定义即可求直线AD与平面BCD所成角的大小．
（2）先求出二面角的平面角，然后结合三角函数的边角关系即可求二面角A-BD-C的余弦值．

解答 证明：（1）如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，
连接DH，则AH⊥平面DBC，
AD在平面DBC内的射影为DH，
∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角．
由题设知$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABH=∠DBH=60°}\\{HB=HB}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△DHB，
∴∠AHB=∠DHB=90°，即DH⊥BH，
∴∠ADH=45°，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°．
（2）过H作HR⊥BD，垂足为R，
连接AR，
则由AH⊥平面BCD，
∴AH⊥BD，
AH∩HR=H，
∴BD⊥平面AHR，
∴BD⊥AR，
故∠ARH为二面角A-BD-C的平面角的补角．
设BC=a，则有题设知，DH=AH=BDsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，HB=$\frac{a}{2}$，
在△HDB中，HR=HBsin60°═$\frac{a}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴tan∠ARH=$\frac{AH}{HR}=2$，cos∠ARH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故二面角A-BD-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了直线和平面所成的角以及二面角的求解，根据相应的定义先求出对应的夹角是解决本题的关键．考查了空间想象能力和推理论证能力．本题也可以使用向量法进行求解．