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选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为:ρ=2cosθ,直线C2的参数方程为:
x=1+
2
2
t
y=3+
2
2
t
(t为参数)
(I )求曲线C1的直角坐标方程,曲线C2的普通方程.
(II)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的
3
倍得到曲线C3,P为曲线C3上一动点,求点P到直线C2的距离的最小值,并求出相应的P点的坐标.
(I )C1的极坐标方程为:ρ=2cosθ,即:ρ2=2ρcosθ,
化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即为(x-1)2+y2=1
直线C2的参数方程为:
x=1+
2
2
t
y=3+
2
2
t
(t为参数),
消去t得普通方程为x-y+4=0
(II)曲线C3上的方程为
x2
3
+y2
=1
设点P(
3
cosθ
,sinθ),点P到直线的距离为d=
|
3
cosθ-sinθ+4|
2
=
|2cos(θ+
π
6
)+4|
2

由三角函数的性质知,当θ+
π
6
=π是,d取得最小值
2
,此时θ=
6

所以P点的坐标为(-
3
2
1
2
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