题目内容
（2009•武昌区模拟）已知数列{an} 满足：a1=2，an+1=2（1+
）2an（n∈N+）．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N+都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由；
（3）求证：a1+a2+…+an＜（n2-2n+2）•2n+2．
| 1 | n |
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N+都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由；
（3）求证：a1+a2+…+an＜（n2-2n+2）•2n+2．
分析：（1）由已知可得
=2•
，从而可判断{
}是公比为2的等比数列．利用等比数列通项公式可得an；
（2）bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．由an=bn+1-bn恒成立，得
，解出可作出判断；
（3）由（2）知bn=(n2-4n+6)•2n，及an=bn+1-bn，可求得a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1，结合不等式右边式子进行放缩可证明；
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
| an |
| n2 |
（2）bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．由an=bn+1-bn恒成立，得
|
（3）由（2）知bn=(n2-4n+6)•2n，及an=bn+1-bn，可求得a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1，结合不等式右边式子进行放缩可证明；
解答：解：（1）由已知an+1=2(
)2•an，得
=2•
，
则数列{
}是公比为2的等比数列．
又a1=2，所以
=2n，即an=2n•n2．
（2）∵bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．
若an=bn+1-bn恒成立，则
，
解得
，
故存在常数A，B，C，满足条件．
（3）由（2）知：bn=(n2-4n+6)•2n，an=bn+1-bn，
∴a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1
=（n2-2n+3）•2n+1-6＜（n2-2n+3）•2n+1=（
-n+
）•2n+2
=[（n2-2n+2)-
-
]•2n+2≤（n2-2n+2）•2n+2．
| n+1 |
| n |
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
则数列{
| an |
| n2 |
又a1=2，所以
| an |
| n2 |
（2）∵bn+1-bn=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n．
若an=bn+1-bn恒成立，则
|
解得
|
故存在常数A，B，C，满足条件．
（3）由（2）知：bn=(n2-4n+6)•2n，an=bn+1-bn，
∴a1+a2+…+an=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn+1-bn）=bn+1-b1
=（n2-2n+3）•2n+1-6＜（n2-2n+3）•2n+1=（
| n2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=[（n2-2n+2)-
| (n-1)2 |
| 2 |
| (n-1)2 |
| 2 |
点评：本题考查数列与不等式的综合、数列递推式，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较高．
练习册系列答案
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