题目内容

已知函数f(x)=
2x-12x+1

(1)试判断函数的单调性并加以证明;
(2)当f(x)<a恒成立时,求实数a的取值范围.
分析:(1)可得函数的定义域为R,再利用单调性的定义,按照取值、作差、变形、定号下结论的步骤进行正面;
(2)将函数整理为f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
,从而可求出函数的值域,进而可确定实数a的取值范围.
解答:解:(1)函数f(x)=
2x-1
2x+1
的定义域为R,
函数f(x)在R上是增函数,
设x1,x2是R内任意两个值,并且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+2
-
2x2-1
2x2+1
=
(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
…(5分)
∵x1<x22x12x2
f(x1)-f(x2)=
2(2x1=-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0

即∴f(x1)<f(x2
∴f(x)是R上的增函数.…(7分)
(2)f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1

∵2x>0∴2x+1>1
0>
2
1+2x
<2

-2<
2
1+2x
<0

-1<1-
2
1+2x
<1

即-1<f(x)<1…(10分)
当f(x)<a恒成立时,a≥1…(12分)
点评:本题以函数为载体,考查单调性的判断与证明,考查函数的值域,考查恒成立问题,属于中档题.
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