题目内容
已知函数f(x)=
(1)试判断函数的单调性并加以证明;
(2)当f(x)<a恒成立时,求实数a的取值范围.
2x-1 | 2x+1 |
(1)试判断函数的单调性并加以证明;
(2)当f(x)<a恒成立时,求实数a的取值范围.
分析:(1)可得函数的定义域为R,再利用单调性的定义,按照取值、作差、变形、定号下结论的步骤进行正面;
(2)将函数整理为f(x)=
=1-
,从而可求出函数的值域,进而可确定实数a的取值范围.
(2)将函数整理为f(x)=
2x-1 |
2x+1 |
2 |
2x+1 |
解答:解:(1)函数f(x)=
的定义域为R,
函数f(x)在R上是增函数,
设x1,x2是R内任意两个值,并且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
-
=
=
…(5分)
∵x1<x2∴2x1<2x2
∴f(x1)-f(x2)=
<0.
即∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的增函数.…(7分)
(2)f(x)=
=1-
∵2x>0∴2x+1>1
∴0>
<2,
∴-2<
<0,
∴-1<1-
<1
即-1<f(x)<1…(10分)
当f(x)<a恒成立时,a≥1…(12分)
2x-1 |
2x+1 |
函数f(x)在R上是增函数,
设x1,x2是R内任意两个值,并且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
2x1-1 |
2x1+2 |
2x2-1 |
2x2+1 |
(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) |
(2x1+1)(2x2+1) |
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵x1<x2∴2x1<2x2
∴f(x1)-f(x2)=
2(2x1=-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
即∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)是R上的增函数.…(7分)
(2)f(x)=
2x-1 |
2x+1 |
2 |
2x+1 |
∵2x>0∴2x+1>1
∴0>
2 |
1+2x |
∴-2<
2 |
1+2x |
∴-1<1-
2 |
1+2x |
即-1<f(x)<1…(10分)
当f(x)<a恒成立时,a≥1…(12分)
点评:本题以函数为载体,考查单调性的判断与证明,考查函数的值域,考查恒成立问题,属于中档题.

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