题目内容
在平面直角坐标系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),
f(x)=•.
(1)求f(x)的表达式和最小正周期;
(2)当
0<x<时,求f(x)的值域.
分析:(1)先计算两个向量
和的坐标,再利用向量数量积运算性质计算f(x),将所得f(x)解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,最后利用周期公式计算f(x)的最小正周期即可
(2)先求内层函数y=2x-
的值域,再利用正弦函数的图象和性质求y=sin(2x-
)的值域,最后由y=2
t+4的单调性即可得f(x)的值域
解答:解:(1)∵A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),
∴
=(-2,2),
=(-2+cos2x,sin2x)∴
f(x)=•=(-2,2)•(cos2x-2,sin2x)=4-2cos2x+2sin2x=
2sin(2x-)+4,
∴f(x)═
2sin(2x-)+4,
∴f(x)的最小正周期为
T==π,
(2)∵
0<x<∴
-<2x-<∴
-<sin(2x-)≤1.
∴
2<f(x)≤4+2.所以函数f(x)的值域是
(2 , 4+2].
点评:本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质,解题时要能熟练的将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式,为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件
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