题目内容
(12分)已知如图(1)，梯形
中，
，
，
，
、
分别是
、
上的动点，且
，设
（
）。沿
将梯形翻折，使平面
平面
，如图（2）。
（Ⅰ）求证：平面
平面；
（Ⅱ）若以
、
、
、为顶点的三棱锥的体积记为
，求的最大值；
（Ⅲ）当取得最大值时，求二面角
的正弦值．
解析：（Ⅰ）∵平面
平面
，
，∴
平面，
∴
∵
，
∴
平面
。
又
平面
，
∴平面
平面． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）∵
平面
，
∴
………………………………………6
即
时，
有最大值
． ………………………………………………8分
（Ⅲ）(方法一)如图，以E为原点，
、
、
为轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的法向量为
，
则
∴
设
，则
，
，∴
………………………………10分
平面
的一个法向量为
，
∴
，
……………………………11分
设二面角
为
，∴
∴二面角的正弦值为
…………………………………………12分
(方法二)作
于
，作
于
，连
由三垂线定理知
，
∴
是二面角的平面角的补角．…………………………………9分
由
∽
，知
，而
，
，
，
∴
又
，∴
在
中，
。
∴二面角的正弦值为…………………………………12分
练习册系列答案
相关题目
，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. 
，求k的值. 
（1）求证：DE⊥PC；
（II）求证：BE⊥平面PCD；