题目内容

设A、B为函数 $数学公式$ 图象上不同的两个点，且 AB∥x轴，又有定点 $数学公式$ ，已知M是线段BC的中点．
（1）设点B的横坐标为t，写出△ABC的面积S关于t的函数S=f（t）的表达式；
（2）求函数S=f（t）的最大值，并求此时点C的坐标．

解：（1）如图，设 $\text{[math]}$ ，由M是线段BC的中点，且 $\text{[math]}$ ，可得点C的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$ …（6分）
（2）由上知： $\text{[math]}$
①当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，令 $\text{[math]}$ ，f（t）有最大值 $\text{[math]}$ ，
此时，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ 即 m＞3时，令|t|=1，f（t）有最大值 2m-3，此时，点C的坐标为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …．（12分）
综上，当 $\text{[math]}$ 时，f（t）有最大值 $\text{[math]}$ ，此时，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ；当m＞3时，f（t）有最大值2m-3，此时，点C的坐标为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）假设B的坐标，利用M是线段BC的中点，可得点C的坐标，从而可得△ABC的面积S关于t的函数S=f（t）的表达式；
（2）先配方，再分类讨论，即可求得函数S=f（t）的最大值，及此时点C的坐标．
点评：本题考查三角形面积的计算，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．