Question

已知函数f(x)=2asin(2x+

π

6

)-4acos2x+3a+b，在[0，

π

2

]上的值域为[0，3]
（1）求f（x）的解析式．
（2）当a＜0时，求f（x）图象的对称中心．
（3）当a＞0时，指出函数f（x）图象怎样由y=2sinx图象变换而来．（不画图、只需说明变换步骤）

Answer 1

分析：（1）先根据三角公式对解析式进行化简整理，再结合∈[0，

π

2

]，上的值域为[0，3]，求出a，b即可得到f（x）的解析式．
（2）直接利用上面的结论，再结合正弦函数对称中心的求法即可得到f（x）图象的对称中心．
（3）直接利用函数图象的平移规律以及伸缩变换规律即可得到结论．

解答：解：（1）因为f（x）=2asin（2x+

π

6

）-4acos²x+3a+b
=2a[sin（2x+

π

6

）-cos2x）+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+a+b．
因为x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
当a＞0时，由

2a+a+b=3 2a×(- 1 2 )+a+b=0

⇒

a=1 b=0

⇒f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
当a＜0时，由

2a×(- 1 2 )+a+b=3 2a+a+b=0

⇒

a=-1 b=3

⇒f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
（2）因为a＜o时，f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
令2x

π

6

-=kπ⇒x=

kπ

2

+

π

12

．k∈Z．
所以f（x）图象的对称中心：(

kπ

2

+

π

12

，2)（k∈Z）
（3）因为a＞0时，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
把y=2sinx的图象相右平移

π

6

个单位得到：y=2sin（x-

π

6

），再各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

倍得到：y=2sin（2x-

π

6

），再整体向上平移1个单位即可得到：y=2sin（2x-

π

6

）+1．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．