题目内容
4.如图所示,由圆x2+y2=9上一点M向x轴引垂线,垂足为N,设P为线段MN的中点,当点M变动时,选择适当的参数,求点P的轨迹的参数方程,并说明它表示什么曲线.分析 由题意设出圆的参数方程,得到M坐标,利用中点坐标公式求得P的坐标,则点P的轨迹的参数方程可求,化参数方程为普通方程,可得P的轨迹为椭圆.
解答 解:由题意设M(3cosθ,3sinθ)(θ为参数),
则N(3cosθ,0),
∵P为线段MN的中点,∴P(3cosθ,$\frac{3}{2}sinθ$),
∴点P的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$.
由为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\frac{3}{2}sinθ}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}=cosθ}\\{\frac{2y}{3}=sinθ}\end{array}\right.$,
两式平方作和得:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{4{y}^{2}}{9}=1$,表示焦点在x轴上的椭圆.
点评 本题考查轨迹方程的求法,考查了圆与椭圆的参数方程,是基础题.
练习册系列答案
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14.已知B(-2,0),C(2,0),A为动点,△ABC的周长为10,则动点A的满足的方程为( )
A. | $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}$=1 | B. | $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1 | C. | $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1 | D. | $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1 |
9.两条平行的直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( )
A. | 0<d≤3 | B. | 0<d≤5 | C. | 0<d≤4 | D. | 3<d≤5 |
1.已知过x轴上一点E(x0,0)(0<x0<$\sqrt{2}$)的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1相交于M、N两点,若$\frac{1}{E{M}^{2}}$+$\frac{1}{E{N}^{2}}$为定值,则x0的值为( )
A. | 1 | B. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |