题目内容
【题目】如图,在梯形中,
,
,四边形
为矩形,且
平面
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)点在线段
(含端点)上运动,当点
在什么位置时,平面
与平面
所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)由,
可得
.由
可得
.从而
平面
(2)分别以直线,
,
为
轴,
轴,
轴的如图所示建立空间直角坐标系,令
(
). 平面
的一个法向量
=(1,
,
),
=(1,0,0)是平面
的一个法向量.
∵
,∴当
时,
有最小值
.
试题解析: (I)在梯形中,∵
,设
,
又∵,∴
,∴
∴∴
.
∵,
,
∴,而
,
∴
∵ ∴
.
(II)由(I)可建立分别以直线,
,
为
轴,
轴,
轴的如图所示建立空间直角坐标系,
设,令
(
),则
(0,0,0),
(
,0,0),
(0,1,0),
(
,0,1),
∴=(-
,1,0),
=(
,-1,1),
设为平面
的一个法向量,
由得
取,则
=(1,
,
),
∵=(1,0,0)是平面
的一个法向量,
∴
∵,∴当
时,
有最小值
,
∴点与点
重合时,平面
与平面
所成二面角最大,此时二面角的余弦值为
.
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