Question

已知函数f（x）=x³+3x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，解方程，即可得到a，再由图象过原点，可得b=0；
（2）由题可知f′（x）≤0对0＜x＜2恒成立．运用参数分离和二次函数在闭区间上的值域的求法，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）的图象过原点，得b=0，
又f′（x）=3x²+6x-a（a+2），
f（x）在原点处的切线斜率是-3，
则-a（a+2）=-3，
所以a=-3，或a=1．
则有a=-3或1，b=0；
（2）由题可知f′（x）≤0对0＜x＜2恒成立．
即3x²+6x-a（a+2）≤0，
即有3x²+6x≤a（a+2），对0＜x＜2恒成立，
由于3x²+6x=3（x+1）²-3∈[-3，24），
∴a（a+2）≥24
∴a≥4或a≤-6．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．