Question

已知空间向量，，，O为坐标原点，给出以下结论：①以OA、OB为邻边的平行四边形OACB中，当且仅当k=2时，取得最小值；②当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为4x-2y-5=0，其轨迹是一条直线；③若，则三棱锥O-ABP体积的最大值为；④若=（0，0，1），则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概率为．其中，所有正确结论的应是    ．

Answer 1

【答案】分析：对于①，利用向量加法的平行四边形法则得出的坐标，从而求出²=16+（k+1）²，当且仅当k=-1时，取得最小值；故①错；对于②，当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为线段AB的中垂面，其轨迹是一个平面；故②错；③若，要使得三棱锥O-ABP体积的最大，只须S_△OAB最大即可，下面求出其最大值即可．④若=（0，0，1），则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形，只须在三角形OAB中，∠OAB为直角即可，再探讨在什么情况下其是直角结合概率公式计算即得．
解答：解：=+=（1，k，0）+（3，1，0）=（4，k+1，0），
∴²=16+（k+1）²，当且仅当k=-1时，取得最小值；故①错；
对于②，当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为线段AB的中垂面，其轨迹是一个平面；故②错；
③若，要使得三棱锥O-ABP体积的最大，
由于三棱锥O-ABP体积=×||×S_△OAB=S_△OAB，
故只须S_△OAB最大即可，
在xOy平面内考虑，此时A（1，2），cos∠AOB===，∴∠AOB=45°．
S_△OAB最大=×||×||sin∠AOB=××sin45°=．故错；
④若=（0，0，1），则要使得三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形，
只须在三角形OAB中，∠OAB为直角即可，
如图，由于点A只能在M，N，S，P，Q五点取得，有5种取法，
而使得∠OAB为直角的点是M，Q，有2种取法，
则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概为．正确．
其中，所有正确结论的应是④．
故答案为：④．
点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、三棱锥的几何特征、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．