题目内容
【题目】已知抛物线
，直线
与抛物线
交于
，
两点，分别过，作抛物线的切线，两切线交于点
.
（1）若直线变动时，点始终在以
为直径的圆上，求动点的轨迹方程；
（2）设圆
，若直线与圆
相切于点
（点在线段上）.是否存在点使得
？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；点
【解析】
（1）利用导数可求得切线
的方程，进而得到
，由
可求得
，进而得到轨迹方程；
（2）设直线
方程为
，与抛物线方程联立，利用
可求得
；根据直线与圆
相切可求得
，进而得到方程，确定
点坐标.
（1）设点
，
，
，
由
得：
，
，
切线
方程为：
，即
；
切线
方程为：
，即
；
，
，两式消去
得：
，
始终在以
为直径的圆上，
，
，
，
点
的轨迹方程为.
（2）由题意可知：直线斜率存在，设直线方程为：，
直线与圆相切，
，即
，
设点，，
由
得：
，则
，
，
，
，
，解得：
，
，直线方程为：
，
，
即存在点
，使得.
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