Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3．
（1）求证：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足==λ．（0＜λ＜1）
①求证：对于任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF；
②是否存在λ，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过平面SAB内的直线BC垂直平面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足==λ．（0＜λ＜1）
①直接利用直线与平面平行，判断对于任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF；
②存在λ，使得△AEF为直角三角形，分别通过三角形的三个角为90°，通过直线与平面垂直，求出满足题意的λ值，或推出矛盾的结果，即可说明存在λ．
解答：证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∵SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SAB，∴平面SBC⊥平面SAB；
（2）①∵，∴EF∥SC，
∵SC?平面AEF，EF?平面AEF，
∴对任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF．
②存在λ，使得△AEF为直角三角形，
1°：若∠AFE=90°，即AF⊥EF，由（1）可知，BC⊥平面SAB，
∵AF?平面SAB，∴BC⊥AF，
∵EF∩BC=E，EF?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BS，
在Rt△SAB中，AB=4，SA=3，∴BS=5，∴SF==，
∴FB=5-，．
2°：若∠FAE=90°，AF⊥AE，由1°：可知，BC⊥AF，
∵BC∩AE=E，AE?平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，
又因为SA⊥平面ABCD，这与够一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，
∴∠FAE≠90°．
3°：若∠AEF=90°，即AE⊥EF，由（1）可知，E∥SC，∴AE⊥SC，
又∵SA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴AE⊥SA，SA∩SC=S，
∴AE⊥平面SAC，∴AE⊥AC，
这与∠BAD=90°矛盾，
所以∠AEF≠90°．
综上当且仅当，使得△AEF为直角三角形．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，分类讨论思想的应用．