Question

17．已知g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2a1nx在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，结合参数分离法进行求解即可．

解答 解：∵g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2a1nx在[1，2]上是减函数
∴等价为g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0，
即$\frac{2a}{x}$≤$\frac{2}{{x}^{2}}$-2x，
则a≤$\frac{1}{x}$-x²，
设f（x）=$\frac{1}{x}$-x²，则f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{1}{2}-4$=-$\frac{7}{2}$，
即a≤-$\frac{7}{2}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{7}{2}$]．

点评 本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．