Question

如图，A村在B地正北km处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到B，C距离之和为8km，现要在公路旁建造一个供电所M分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电．
（1）试指出公路PQ所在曲线的类型，并说明理由；
（2）要使得所用电线最短，供电所M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意得|MB|+|MC|=8（8＞|BC|=4），结合椭圆的定义得出M在以B，C为焦点，长轴长为8的椭圆上；
（2）建立如图所示的坐标系，则B（-2，0），C（2，0），，从而得出椭圆方程为，作MN⊥l于N，则，由平面几何知识知，当直线MN通过A时，|AM|+|MN|最小从而解决问题．
解答：解：（1）∵|MB|+|MC|=8（8＞|BC|=4），
∴M在以B，C为焦点，长轴长为8的椭圆上；
（2）建立如图所示的坐标系，
则B（-2，0），C（2，0），，
求得椭圆方程为，
其离心率，右准线为l：x=8．
作MN⊥l于N，则，
由平面几何知识知，当直线MN通过A时，|AM|+|MN|最小为|AN|，此时M的纵坐标为，
∴M的横坐标为．
故得M在A正东且距A为（）km处．
点评：考查圆锥曲线的实际背景及作用、考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用椭圆的定义的方法来求函数的最小值的能力．