题目内容

函数 $数学公式$ 在一个周期内的图象如图，A为最高点，B，C为图象与x轴的交点，且 $数学公式$ ．
（1）求ω的值及f（x）的值域；
（2）若 $数学公式$ 的值．

解：（1）

∵函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1+cosωx）+sinωx- $\text{[math]}$ =2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ），
$\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ BC=2，∴BC=4，故函数的周期为8，即 $\text{[math]}$ =8，
解得ω= $\text{[math]}$ ，∴f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ），∴f（x）的值域为[-2，2]．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴2sin（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，sin（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
再由（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）可得 cos（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∴f（x₀+1）=2sin[ $\text{[math]}$ （x₀+1）+ $\text{[math]}$ ]=2sin[（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=2sin （ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +2cos （ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ），根据两个向量垂直的条件求得， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ BC=2，由此可得函数的周期为8，即 $\text{[math]}$ =8．
求出ω 的值，即可求得 f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ），从而求得f（x）的值域．
（2）由条件求得sin（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，cos（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再根据 f（x₀+1）=2sin[ $\text{[math]}$ （x₀+1）+ $\text{[math]}$ ]=2sin[（ $\text{[math]}$ x₀+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]，利用两角和的正弦公式求得结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两个向量垂直的条件，属于中档题．