题目内容
已知G为△ABC内一点,且AB |
AC |
AG |
(1)化简
AG |
BG |
CG |
(2)若O为平面内不同于G的任意一点,求证:
OG |
1 |
3 |
OA |
OB |
OC |
分析:(1)由G为△ABC内一点,且
+
=3
.可得点G为△ABC的重心.利用重心的性质即可得出.
(2)由(1)可得
+
+
=
.可得
-
+
-
+
-
=
,化简即可.
AB |
AC |
AG |
(2)由(1)可得
AG |
BG |
CG |
0 |
OG |
OA |
OG |
OB |
OG |
OC |
0 |
解答:(1)解:∵G为△ABC内一点,且
+
=3
.
∴点G为△ABC的重心.
∴
+
+
=
(
+
)+
(
+
)+
(
+
)=
.
(2)证明:由(1)可得
+
+
=
.
∴
-
+
-
+
-
=
,
化为
=
(
+
+
).
AB |
AC |
AG |

∴点G为△ABC的重心.
∴
AG |
BG |
CG |
1 |
3 |
AB |
AC |
1 |
3 |
BA |
BC |
1 |
3 |
CA |
CB |
0 |
(2)证明:由(1)可得
AG |
BG |
CG |
0 |
∴
OG |
OA |
OG |
OB |
OG |
OC |
0 |
化为
OG |
1 |
3 |
OA |
OB |
OC |
点评:本题考查了三角形的重心定理的性质、向量的运算法则,属于中档题.

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