Question

【题目】已知双曲线过点P（﹣3 ，4），它的渐近线方程为y=± x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设双曲线的方程为y2﹣ x2=λ（λ≠0），

代入点P（﹣3 ，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）解：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，

又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，

∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，

又|F1F2|=2c=10，

∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【解析】(1)根据待定系数法求出双曲线的方程。（2）利用双曲线的定义得出关系式，两边平方可得出d12+d22 的值，根据余弦定理可求出cos的值即可。