Question

在△ABC中，A=

π

6

，B∈(

π

2

，

5π

6

)，BC=2．
（Ⅰ）若B=

2π

3

，求sinC；
（Ⅱ）求证：AB=4sin(

5π

6

-B)；
（Ⅲ）求

BA

•

BC

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A与B的度数求出C的度数，即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由正弦定理列出关系式，根据B表示出C代入计算即可得证；
（Ⅲ）利用平面向量的数量积运算化简所求的式子，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个叫的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出范围．

解答：解：（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sin

π

6

=

1

2

；
（Ⅱ）证明：在△ABC中，由正弦定理得

AB

sinC

=

BC

sinA

，
∵BC=2，sinA=

1

2

，B+C=

5π

6

，
∴AB=

BCsinC

sinA

=4sin（

5π

6

-B）；
（Ⅲ）∵|

BC

|=2，|

BA

|=4sin（

5π

6

-B），
∴

BA

•

BC

=|

BA

||

BC

|cosB=8sin（

5π

6

-B）cosB=8cosB（

1

2

cosB+

3

2

sinB）=4sin（2B+

π

6

）+2
=2+2cos2B+2

3

sin2B=4sin（2B+

π

6

）+2，
∵B∈（

π

2

，

5π

6

），∴2B+

π

6

∈（

7π

6

，

11π

6

），
∴sin（2B+

π

6

）∈[-1，-

1

2

），
则

BA

•

BC

=的取值范围是[-2，0）．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．