Question

已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是

1

2

．
（1）记动点P的轨迹为曲线D．求曲线D的方程，并说明方程表示的曲线；
（2）若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），则由2|PO|=|PA|，由两点间的距离公式即可得出；
（2）先判断两圆的位置关系．由|MN|²=|MD|²-|DN|²，可得|MN|²=|MD|²-4，又|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，即可得出．

解答：解（1）设动点P的坐标为（x，y），则由2|PO|=|PA|，得4（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：x²+y²+2x-3=0．
化为（x+1）²+y²=4，
因此曲线D的方程表示的是以（-1，0）为圆心，2为半径的圆．
（Ⅱ）由|DE|=

(2+1)2+(4-0)2

=5，及5＜8-2有：两圆内含，且圆D在圆E内部．
如图所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²，即：|MN|²=|MD|²-4，
∵|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，
故5≤|MN|²≤165，

点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系、切线的性质、勾股定理、最值问题的转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．