Question

在三棱锥S-ABC中，如图，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，
BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小；
（3）（理）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．
（文）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°可知：SA⊥底面ACB，且BC⊥面ASC，所以SC⊥BC．
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC；又因为SC⊥BC，所以∠SCA即为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ACB中，AC=2，BC=，可得AB=．在Rt△SAB中，AB=，SB=，可得SA=．在Rt△SAC中，SA=，AC=2，可得∠SCA=60°，即得侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小．
（3）（理）分别取AC、SB、CB、SC的中点D、E、F、M，连接DE、EF、DF、ME、MD，则：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，所以异面直线SC与AB所成的角的大小即为∠EFD的大小．再由余弦定理可得∠EFD的大小．
（文）根据锥体的体积计算公式可知：，，所以V_S-ABC=
解答：解：（1）证明：如图，
∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥底面ACB
又∵BC?底面ACB
∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SA∩AC=A
∴BC⊥面ASC
又∵SC?面ASC
∴SC⊥BC
（2）解：∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SC⊥BC
∴∠SCA即为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ACB中，AC=2，BC=，∴AB=
在Rt△SAB中，AB=，SB=，∴SA=
在Rt△SAC中，SA=，AC=2，∴∠SCA=60°，
即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°
（3）
（理）分别取AC、SB、CB、SC的中点D、E、F、M，连接DE、EF、DF、ME、MD，则：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，
所以异面直线SC与AB所成的角的大小即为∠EFD的大小．
∵ME∥CB，BC⊥面ASC
∴ME⊥面ASC
∴ME⊥MD，又ME=，MD=，则ED=
又∵EF=2，DF=
∴cos∠EFD=
∴异面直线SC与AB所成的角的大小为arccos．
（文）∵，，
∴V_S-ABC=．
点评：本小题主要考查棱锥的结构特征、体积计算，二面角及其度量，异面直线所成的角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．