题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ ，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =1，解得n= $\text{[math]}$ ，
所以直线l的方程为：y=± $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （x+1）．
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
设直线l为x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中点为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴AB的中垂线为：y- $\text{[math]}$ =-t（x+ $\text{[math]}$ ），
∴点P为（- $\text{[math]}$ ，0），∴P到直线l的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵|AB|= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t=± $\text{[math]}$ ，
∴存在点P为（- $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（Ⅰ）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．设直线l为x=ty-4，写出AB中垂线方程，进而得到P点坐标，表示出P到直线l的距离d，据弦长公式求出|AB|，则有d= $\text{[math]}$ •|AB|
，解出即可，注意要保证直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆方程联立消元后△＞0．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．