Question

有以下五个命题
①设a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则点P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为[0，]；
②一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻只有1秒末；
③若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，且a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是；
④定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），则f（x）的图象关于x=1对称；
⑤函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的有    ．

Answer 1

【答案】分析：对于①，f′（x）=2ax+b，因为切线的倾斜角的取值范围为[0，]，所以f′（x）=2ax+b∈[0，1]，所以判断出①对；对于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度为零的时刻只有1秒末或2秒末，判断出②错；根据复合函数的单调性判断出③对；对于④，因为定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的图象关于x=1对称，判断出④对对于⑤，根据图象的平移变换判断出⑤对．
解答：解：对于①，f′（x）=2ax+b，因为切线的倾斜角的取值范围为[0，]，所以f′（x）=2ax+b∈[0，1]，所以即点P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为[0，]；故①对
对于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度为零的时刻只有1秒末或2秒末，故②错，
对于③，令t=x³-ax，因为t′=3x²-a，当a＞1时，t′=3x²-a≥0在区间内恒成立，得a≤0不合题意；当0＜a＜1时t′=3x²-a≤0在区间内恒成立，得a≥，所以a的取值范围是；所以③对；
对于④，因为定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的图象关于x=1对称，故④对；
对于⑤，因为y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，而y=f（x-2）的图象是由y=f（x）的图象向右平移2个单位；
y=f（2-x）的图象是由f（-x）的图象向有平移2个单位，所以函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故⑤对．
故答案为①③④⑤
点评：解决函数的图象的平移问题，一定要注意图象平移的单位是自变量x的变换的数的绝对值，然后遵循左加右减的原则．