Question

8．正实数x，y满足2x+y-3=0，则$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值为9．

Answer 1

分析 正实数x，y满足2x+y-3=0，可得y=3-2x＞0，解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．则$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t，化为2tx²-（9+3t）x+18=0，令△≥0，解出并验证即可得出．

解答 解：正实数x，y满足2x+y-3=0，∴y=3-2x＞0，解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．
则$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{4（3-2x）-x+6}{x（3-2x）}$=$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t，
化为2tx²-（9+3t）x+18=0，
令△=（9+3t）²-8×18t≥0，
化为t²-10t+9≥0，
解得t≥9或t≤1，
若$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t≤1，
化为（x-3）²≤0，舍去．
∴t≥9，
当t=9时，$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=9，化为（x-1）²=0，解得x=1，满足$0＜x＜\frac{3}{2}$．
∴则$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值为9．
另解：∵正实数x，y满足2x+y-3=0，∴4x+2y=6，
则$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{4y-x+4x+2y}{xy}$=3$（\frac{1}{y}+\frac{2}{x}）$=（2x+y）$（\frac{1}{y}+\frac{2}{x}）$=5+$\frac{2x}{y}$+$\frac{2y}{x}$≥5+2×$2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=9，当且仅当x=y=1时取等号．
∴则$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了利用判别式法求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．