题目内容

设函数f(x)为定义在R上的偶函数,当x<-1时,y=f(x)的图象是经过A(-2,0)、B(-3,-1)两点的一条射线,当-1≤x≤1时,y=f(x)的图象是顶点在(0,),对称轴是y轴,且过点(-1,1)的一段抛物线.

(1)试求函数y=f(x)的解析式;

(2)画出f(x)的图象并写出其单调递增区间.

答案:
解析:

  解:(1)∵x<-1时,f(x)的图象为经过A、B两点的一条射线,∴设f(x)=kx+b(x<-1).

  代入A(-2,0)、B(-3,-1)两点的坐标,得

  ∴f(x)=x+2(x<-1).

  又y=f(x)为偶函数,∴当x>1时,函数图象为过(2,0)、(3,-1)的一条射线,解得f(x)=-x+2(x>1).

  由题意可得当-1≤x≤1时,f(x)的图象顶点在(0,)处,对称轴为y轴,且过点(-1,1)的一段抛物线,∴可设f(x)=ax2(-1≤x≤1).

  代入点(-1,1)可得f(x)=x2,综上,知f(x)=

  (2)图象为

  单调增区间为(-∞,-1]和[0,1].


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