Question

【题目】点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(,).（2）

【解析】

（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.

解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)

设点P(,),则={+6,},={－4,},

由已知可得

则2+9－18=0,解得=或=－6.

由于>0,只能=,于是=.

∴点P的坐标是(,).

（2）直线AP的方程是－+6=0.

设点M(,0),则M到直线AP的距离是.

于是=,又－6≤≤6,解得=2.

椭圆上的点(,)到点M的距离为,

则,

由于－6≤≤6, ∴当=时,取得最小值.